Hai dây dẫn thẳng dài vô hạn đặt song song có các...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Cảm ứng từ do dòng điện thẳng gây ra: \(B = {2.10^{ - 7}}.\frac{I}{r}\)

+ Áp dụng quy tắc nắm tay phải xác định hướng của vecto cảm ứng từ \(\overrightarrow B \)

+ Nguyên lí chồng chất từ trường: \(\overrightarrow B  = \overrightarrow {{B_1}}  + \overrightarrow {{B_2}}  + ...\)

+ Bất đẳng thức Cosi: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

Dấu \( = \) xảy ra khi \(a = b\)

Giải chi tiết:

Giả sử hai dây dẫn được đặt vuông góc với mặt phẵng hình vẽ.

Dòng \({I_1}\) đi vào tại \(A\), dòng \({I_2}\) đi vào tại \(B\).

Các dòng điện \({I_1}\) và \({I_2}\) gây ra tại \(M\) các véc tơ cảm ứng từ \(\mathop {{B_1}}\limits^ \to  \) và \(\mathop {{B_2}}\limits^ \to  \) có phương chiều như hình vẽ:

Và có độ lớn: \({B_1} = {B_2} = {2.10^{ - 7}}\frac{I}{x}\)

Cảm ứng từ tổng hợp tại \(M\) là: \(\mathop B\limits^ \to   = \mathop {{B_1}}\limits^ \to   + \mathop {{B_2}}\limits^ \to  \)

Có phương chiều như hình vẽ và có độ lớn:

\(\begin{array}{l}
B = {B_1}.\cos \alpha + {B_2}.\cos \alpha = 2{B_1}.\cos \alpha = 2{B_1}\frac{{HM}}{{AM}}\\
\,\,\,\,\, = {2.2.10^{ - 7}}.\frac{I}{x}.\frac{{\sqrt {{x^2} - {{\left( {\frac{d}{2}} \right)}^2}} }}{x} = {4.10^{ - 7}}.I.\sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{{{d^2}}}{{4{x^4}}}}
\end{array}\)

Nhận thấy, B đạt cực đại khi \(\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{{{d^2}}}{{4{x^4}}}\) đạt cực đại:

Ta có: \(\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{{{d^2}}}{{4{x^4}}} = \frac{4}{{{d^2}}}\frac{{{d^2}}}{{4{{\rm{x}}^2}}}(1 - \frac{{{d^2}}}{{4{{\rm{x}}^2}}})\)

Do \(d < x \to 1 - \frac{{{d^2}}}{{4{{\rm{x}}^2}}} > 0\)  

Áp dụng BĐT cosi ta có: \(\frac{{{d^2}}}{{4{{\rm{x}}^2}}}(1 - \frac{{{d^2}}}{{4{{\rm{x}}^2}}}) \le \frac{{{{\left( {\frac{{{d^2}}}{{4{{\rm{x}}^2}}} + 1 - \frac{{{d^2}}}{{4{{\rm{x}}^2}}}} \right)}^2}}}{4} = \frac{1}{4}\)

Dấu “ = ” xảy ra khi:  \(\frac{{{d^2}}}{{4{{\rm{x}}^2}}} = (1 - \frac{{{d^2}}}{{4{{\rm{x}}^2}}}) \to {x^2} = \frac{{{d^2}}}{2} \to x = \frac{d}{{\sqrt 2 }} = \frac{{12}}{{\sqrt 2 }} = 6\sqrt 2 cm\)