Cho đường tròn (O, R) có đường kính AB. Điểm C là...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)     Do PA và PC là 2 tiếp tuyến của (O) nên PA = PC.

Ta có : PA = PC và OA = OC nên PO là trung trực của AC.

Từ đó suy ra PO vuông AC nên CM vuông góc với OM.

Chứng minh hoàn toàn tương tự : QO là trung trực của BC nên QO vuông góc BC. Từ đó suy ra CN vuông ON.

Mà : AB là đường kính nên: \(\widehat{ACB}={{90}^{0}}.\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 

Do đó AC vuông góc BC, do vậy CM vuông góc CN.

Từ đó suy ra CMON là hình chữ nhật \(\Rightarrow CMON\) là tứ giác nội tiếp.

\(CMON\) là hình chữ nhật \(\Rightarrow OC=MN.\) (hai đường chéo của hình chữ nhật)

Ta có OP vuông AC, QO vuông BC, AC vuông BC nên OP vuông OQ.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác POQ ta có :

\(C{{O}^{2}}=PC.QC\Rightarrow M{{N}^{2}}=PA.QB.\ \ \ \left( dpcm \right)\)

b)      Gọi I  là trung điểm của \(PQ\Rightarrow I\) là tâm đườg tròn ngoại tiếp tam giác \(POQ\) vì \(\Delta POQ\) vuông tại \(O\ \ \left( cmt \right).\)

Ta có: PA vuông góc AB, QB vuông góc AB

Suy ra PA // QB.

\(\Rightarrow APQB\) là hình thang.

Có I là trung điểm PQ và O là trung điểm AB nên IO là đường trung bình APQB.

Từ đó suy ra: \(\left\{ \begin{align}  & IO//PA \\  & IO=\frac{PA+QB}{2}=\frac{PC+QO}{2}=\frac{PQ}{2}=IP=IQ. \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow OI\bot AB=\left\{ O \right\}.\)

\(\Rightarrow AB\) là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính PQ.

c)       Ta có ngay:

\(\begin{align}  & \widehat{MPQ}+\widehat{MNQ}=\widehat{OPC}+\widehat{MNC}+\widehat{CNQ}=\widehat{OPC}+\widehat{MOC}+\widehat{CNQ} \\  & =(\widehat{OPC}+\widehat{POC})+\widehat{CNQ}={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}. \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow MNPQ\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({{180}^{0}}\()

Ta có:

Áp dụng định lý sin trong tam giác MNQ ta được:

\(\begin{align}  & \frac{MQ}{\sin \widehat{MNQ}}=2R=\frac{MQ}{\sin \widehat{MNO}}=\frac{MQ}{\frac{OM}{MN}}=\frac{1}{2}AB.\frac{MQ}{OM} \\  & =\frac{1}{2}AB.\frac{1}{\sin \widehat{OQM}} \\ \end{align}\)

 Từ đây dễ dàng có để 2R min thì C là điểm chính giữa của cung AB