1)      Giải phương trình: \((x - 1)(x + 2) + 2\sq...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1)      Chuyển vế, bình phương hai vế sau đó đưa phương trình về dạng tích.

2)      Sử dụng các hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2};\,\,{\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2};\,\,\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\).

Giải chi tiết:

1)      Ta có phương trình đã cho tương đương với:

\(\eqalign{  & \left( {1 - x} \right)\left( {x + 2} \right) = 2\sqrt {{x^2} + x + 1}   \cr   &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  \left( {1 - x} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0  \cr   ({x^2} - 2x + 1)({x^2} + 4x + 4) = 4({x^2} + x + 1)  \cr}  \right.  \cr   &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{   - 2 \le x \le 1  \cr   {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 4{x^3} - 8{x^2} + 4x + 4{x^2} - 8x + 4 - 4{x^2} - 4x - 4 = 0 \cr}  \right.  \cr   &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{   - 2 \le x \le 1  \cr   {x^4} + 2{x^3} - 7{x^2} - 8x = 0  \cr}  \right.  \cr   &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{   - 2 \le x \le 1  \cr   x(x + 1)({x^2} + x - 8) = 0 \cr}  \right.  \cr   &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{   - 2 \le x \le 1 \cr   \left[ \matrix{  x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)  \cr   x =  - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)  \cr   x = {{ - 1 \pm \sqrt {33} } \over 2}\,\,\,\left( {ktm} \right)  \cr}  \right.  \cr}  \right. \cr} \)

Phương trình đã cho có 2 nghiệm là \(x = 0;\,\,x =  - 1\).

2)      Vì x, y là các số thực dương nên:

\(\eqalign{  & \left| {{{x + y} \over 2} - \sqrt {xy} } \right| + \left| {{{x + y} \over 2} + \sqrt {xy} } \right| = \left| {{{{{\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)}^2}} \over 2}} \right| + \left| {{{{{\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}^2}} \over 2}} \right|  \cr   &  = {{{{\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)}^2}} \over 2} + {{{{\left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)}^2}} \over 2} = x + y = \left| x \right| + \left| y \right|. \cr} \)

Đặt: \(x =  - 1;\,\,y =  - b\)  với a, b không âm.

Ta có:

\(\eqalign{  & \left| {{{x + y} \over 2} - \sqrt {xy} } \right| + \left| {{{x + y} \over 2} + \sqrt {xy} } \right| = \left| {{{ - a - b} \over 2} - \sqrt {ab} } \right| + \left| {{{ - a - b} \over 2} + \sqrt {ab} } \right| =   \cr   & \left| {{{ - a - 2\sqrt {ab}  - b} \over 2}} \right| + \left| {{{ - a + 2\sqrt {ab}  - b} \over 2}} \right|  \cr   &  \Rightarrow \left| {{{ - a - 2\sqrt {ab}  - b} \over 2}} \right| + \left| {{{ - a + 2\sqrt {ab}  - b} \over 2}} \right| = \left| {{{ - {{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}^2}} \over 2}} \right| + \left| {{{ - {{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}^2}} \over 2}} \right|  \cr   &  = {{{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}^2}} \over 2} + {{{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}^2}} \over 2} = a + b = \left| a \right| + \left| b \right|. \cr} \)

Vậy đẳng thức trên vẫn đúng nếu x, y âm.