Cho dãy số

- Hướng dẫn giải

Ta có $u_n=\frac{5^n}{n^2}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\Rightarrow u_{n+1}=\frac{5^{n+1}}{{\left(n+1\right)}^2}$

Xét tỉ số 

$$\begin{gathered} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{5^{n+1}}{{\left(n+1\right)}^2}.\frac{n^2}{5^n}=\frac{5n^2}{n^2+2n+1} \\ =\frac{n^2+2n+1+4n^2-2n-1}{n^2+2n+1} \\ =1+\frac{2n\left(n-1\right)+2n^2-1}{n^2+2n+1}>1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*} \end{gathered}$$

$\begin{array}{l}(n-1\ge 0\Rightarrow 2n(n-1)\ge 0;2n^2-1\ge 2.1-1=1\\ \Rightarrow 2n(n-1)\text{}+2n^2-1>0\forall n\in N\text{}*)\end{array}$

Vậy $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng

Chọn đáp án A