Số các giá trị nguyên của tham số m thuộc \(\left[...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(x\ge 0.\) Dễ thấy \(x=0\) không là nghiệm của phương trình.

Xét \(x>0,\) chia cả 2 vế của phương trình cho \(x\) ta được: \(\frac{{{x}^{2}}+4}{x}-\left( m-1 \right)\sqrt{\frac{{{x}^{2}}+4}{x}}+m+2=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

Đặt \(t=\sqrt{\frac{{{x}^{2}}+4}{x}}\ge \sqrt{\frac{4x}{x}}=2\Rightarrow t\in \left[ 2;+\,\infty  \right),\) khi đó phương trình \(\left( * \right)\,\,\Leftrightarrow \,\,{{t}^{2}}-\left( m-1 \right)t+m+2=0\)

Vì \(t\ge 2\Leftrightarrow t-1\ne 0\) nên phương trình \(\left( * \right)\)\(\Leftrightarrow {{t}^{2}}+t+2=m\left( t-1 \right)\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}+t+2}{t-1}.\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+t+2}{t-1}\) trên \(\left[ 2;+\,\infty  \right),\) có \({f}'\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-2t-3}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}\) suy ra \(\underset{\left[ 2;\,+\,\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=7.\)

Khi đó, để phương trình \(m=f\left( t \right)\) có nghiệm \(\Leftrightarrow \,\,m\ge \underset{\left[ 2;\,+\,\infty  \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=7.\)

Kết hợp với \(m\in \left[ -\,2018;2018 \right]\) và \(m\in \mathbb{Z}\) suy ra có tất cả 2012 giá trị nguyên \(m.\)

Chọn D.