Cho tứ diện ABCD có thể tích \(V\). Gọi M, N, P, Q...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tỉ lệ thể tích trong chóp tam giác \(\frac{{{V}_{S.{A}'{B}'{C}'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{S{A}'}{SA}.\frac{S{B}'}{SB}.\frac{S{C}'}{SC}\) với \({A}'\in SA;{B}'\in SB;{C}'\in SC\).

Giải chi tiết:

Gọi \(E,F,K\) là trung điểm của \(AB,AC,BC\).

Khi đó theo tính chất trọng tâm tam giác ta có \(\frac{DN}{DF}=\frac{DP}{DE}=\frac{DQ}{DK}=\frac{2}{3}\).

Suy ra \(\frac{{{V}_{DPNQ}}}{{{V}_{DEFK}}}=\frac{DN}{DF}.\frac{DP}{DE}.\frac{DQ}{DK}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{8}{9}\).

Lại có \(\frac{{{V}_{M.NPQ}}}{{{V}_{D.NPQ}}}=\frac{\frac{1}{3}d\left( M;\left( NPQ \right) \right).{{S}_{NPQ}}}{\frac{1}{3}d\left( D;\left( NPQ \right) \right).{{S}_{NPQ}}}=\frac{1}{2}\) nên \({{V}_{MNPQ}}=\frac{4}{9}{{V}_{DEFK}}\).

Vì \(E;F;K\)là trung điểm của \(AB,AC,BC\) nên \({{S}_{EFK}}={{S}_{ABC}}-{{S}_{AEF}}-{{S}_{CFK}}-{{S}_{BEK}}=\frac{1}{4}{{S}_{ABC}}\).

Suy ra \(\frac{{{V}_{DEFK}}}{{{V}_{DABC}}}=\frac{\frac{1}{3}d\left( D;\left( EFK \right) \right).{{S}_{EFK}}}{\frac{1}{3}d\left( D;\left( ABC \right) \right).{{S}_{ABC}}}=\frac{1}{4}\)mà \({{V}_{MNPQ}}=\frac{4}{9}{{V}_{DEFK}}\)\(\Rightarrow {{V}_{MNPQ}}=\frac{1}{9}{{V}_{DABC}}=\frac{V}{9}\).

Chọn C.