Cho \(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\) thỏa mãn \(...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức lượng giác cơ bản :

\(\sin \left( A+B \right)=\sin A.\cos B+\cos A.\sin B;\ \ \tan \left( A+B \right)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A.\tan B}.\)

Giải chi tiết:

Ta có : \(\sin \alpha +\sqrt{2}\sin \left( \frac{\pi }{2}-\alpha  \right)=\sqrt{2}\Leftrightarrow \sin \alpha +\sqrt{2}\cos \alpha =\sqrt{2}\)

      \(\Leftrightarrow \sin \alpha =\sqrt{2}-\sqrt{2}\cos \alpha .\)

 Mà \({{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\)

Suy ra \({{\left( \sqrt{2}-\sqrt{2}\cos \alpha  \right)}^{2}}+{{\cos }^{2}}\alpha =1\Leftrightarrow 2\left( {{\cos }^{2}}\alpha -2\cos \alpha +1 \right)+{{\cos }^{2}}\alpha =1\)

\(\Leftrightarrow 3{{\cos }^{2}}\alpha -4\cos \alpha +1=0\Leftrightarrow \left( \cos \alpha -1 \right)\left( 3\cos \alpha -1 \right)=0\Leftrightarrow \cos \alpha =\frac{1}{3}\) vì \(0<\alpha <\frac{\pi }{2}.\)

Khi đó \(\sin \alpha =\sqrt{2}\left( 1-\cos \alpha  \right)=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)\(\xrightarrow{{}}\,\,\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{2\sqrt{2}}{3}:\frac{1}{3}=2\sqrt{2}.\)

Vậy \(\tan \left( \alpha +\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\tan \frac{\pi }{4}+\tan \alpha }{1-\tan \frac{\pi }{4}.\tan \alpha }=\frac{1+\tan \alpha }{1-\tan \alpha }=\frac{1+2\sqrt{2}}{1-2\sqrt{2}}=-\frac{9+4\sqrt{2}}{7}.\)

Chọn C