Giải phương trình nghiệm nguyên \(25{x^3} - {y^3}...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét tính chia hết của \(x,\,\,y,\,\,z\) với 5.

Tìm công thức nghiệm tổng quát rồi kết luận.

Giải chi tiết:

Giả sử \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là một nghiệm của phương trình ban đầu

Khi đó ta có:

                 \(\begin{array}{l}25{x_0}^3 - {y_0}^3 = 5{z_0}^3\\ \Rightarrow y_0^3\,\, \vdots \,\,5 \Rightarrow {y_0}\,\, \vdots \,\,5\\ \Rightarrow {y_0} = 5{y_1}\end{array}\)

Thay  vào biểu thức trên ta có \(25{x_1}^3 - {y_1}^3 = 5{z_1}^3 \Rightarrow \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) là nghiệm của phương trình đã cho.

Chứng minh tương tự ta có \({y_0} = 5{y_1}\)

                   \(\begin{array}{l}25{x_0}^3 - 125{y_1}^3 = 5{z_0}^3\\ \Leftrightarrow 5{x_0}^3 - 25{y_1}^3 = {z_0}^3\,\,\left( * \right)\\ \Rightarrow z_0^3\,\, \vdots \,\,5 \Rightarrow {z_0}\,\, \vdots \,\,5\\ \Rightarrow {z_0} = 5{z_1}\end{array}\)

Thay \({z_0} = 5{z_1}\) vào (*) và tương tự ta có \({x_0} = 5{x_1}\)

Khi đó ta có phương trình \(25{x_1}^3 - {y_1}^3 = 5{z_1}^3\)\( \Rightarrow \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) cũng là 1 nghiệm của phương trình đã cho.

Khi đó ta có \(\left( {\dfrac{{{x_0}}}{{{5^k}}};\dfrac{{{y_0}}}{{{5^k}}};\dfrac{{{z_0}}}{{{5^k}}}} \right)\,\,\forall k \in {\mathbb{Z}^ + }\) là nghiệm của phương trình đã cho\( \Leftrightarrow {x_0} = {y_0} = {z_0} = 0.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {0;0;0} \right)\).