Cho \(x,\;y\) là các số thực dương thỏa mãn \(\ln...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các công thức \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right);\,\,{\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 1\\f\left( x \right) > g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\)

+) Chứng minh \(y \ge g\left( x \right) \Rightarrow P = 2x + y \ge 2x + g\left( x \right)\).

+) Sử dụng BĐT Cô-si đánh giá biểu thức \(P\).

Giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\ln x + \ln y \ge \ln \left( {{x^2} + y} \right) \Leftrightarrow \ln \left( {xy} \right) \ge \ln \left( {{x^2} + y} \right)\\ \Leftrightarrow xy \ge {x^2} + y\,\,\left( {x,y > 0} \right) \Leftrightarrow y\left( {x - 1} \right) \ge {x^2} > 0\end{array}\)

Do\(y > 0\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\), khi đó ta có \(y \ge \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = 2x + y \ge 2x + \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} = \frac{{3{x^2} - 2x}}{{x - 1}} = \frac{{3{x^2} - 3x + x - 1 + 1}}{{x - 1}} = 3x + 1 + \frac{1}{{x - 1}}\\\,\,\,\,\, = 3\left( {x - 1} \right) + \frac{1}{{x - 1}} + 4\mathop  \ge \limits^{Co - si} 2\sqrt {3\left( {x - 1} \right).\frac{1}{{x - 1}}}  + 4 = 2\sqrt 3  + 4\end{array}\)

Vậy \(\min P = 4 + 2\sqrt 3 \).

Chọn A.