Cho hình chóp \(S.ABC\) có tam giác \(ABC\) vuông...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết: \(d\left( {a;b} \right) = d\left( {a;\left( P \right)} \right) = d\left( {A,\left( P \right)} \right)\), ở đó \(a,b\) là hai đường thẳng chéo nhau, \(b \subset \left( P \right)\), \(A \in a\).

Áp dụng: Tìm một mặt phẳng chứa đường thẳng \(SM\) mà song song với \(BC\), từ đó suy ra khoảng cách.

Giải chi tiết:

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\), khi đó \(MN//BC \Rightarrow BC//\left( {SMN} \right)\).

Suy ra \(d\left( {SM,BC} \right) = d\left( {BC,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SMN} \right)} \right)\).

Mà \(BA \cap \left( {SMN} \right) = M,MA = MB\) nên \(d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {AMN} \right)} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(SM\) \( \Rightarrow AH \bot SM\).

Lại có \(MN//BC \Rightarrow MN \bot AB\) và \(MN \bot SA\) \( \Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow MN \bot AH\).

Từ đó suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SM\\AH \bot MN\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = AH\).

Ta tính \(AH\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(\widehat C = {60^0}\) và \(AC = 2\) nên \(AB = AC\sin {60^0} = \sqrt 3  \Rightarrow AM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Tam giác \(SAM\) vuông tại \(A\) có \(AH\) là đường cao \( \Rightarrow AH = \dfrac{{AS.AM}}{{SM}} = \dfrac{{AS.AM}}{{\sqrt {A{S^2} + A{M^2}} }} = \dfrac{{1.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {1 + \dfrac{3}{4}} }} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}\).

Vậy \(d\left( {SM,BC} \right) = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}\).

Chọn A.