Cho hình chóp $S.ABC$ có tam giác $ABC$ vuông...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết: $d\left( {a;b} \right) = d\left( {a;\left( P \right)} \right) = d\left( {A,\left( P \right)} \right)$, ở đó $a,b$ là hai đường thẳng chéo nhau, $b \subset \left( P \right)$, $A \in a$.

Áp dụng: Tìm một mặt phẳng chứa đường thẳng $SM$ mà song song với $BC$, từ đó suy ra khoảng cách.

Giải chi tiết:

Gọi $N$ là trung điểm của $AC$, khi đó $MN//BC \Rightarrow BC//\left( {SMN} \right)$.

Suy ra $d\left( {SM,BC} \right) = d\left( {BC,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SMN} \right)} \right)$.

Mà $BA \cap \left( {SMN} \right) = M,MA = MB$ nên $d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {AMN} \right)} \right)$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $SM$ $\Rightarrow AH \bot SM$.

Lại có $MN//BC \Rightarrow MN \bot AB$ và $MN \bot SA$ $\Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow MN \bot AH$.

Từ đó suy ra $\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SM\\AH \bot MN\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = AH$.

Ta tính $AH$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ có $\widehat C = {60^0}$ và $AC = 2$ nên $AB = AC\sin {60^0} = \sqrt 3  \Rightarrow AM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Tam giác $SAM$ vuông tại $A$ có $AH$ là đường cao $\Rightarrow AH = \dfrac{{AS.AM}}{{SM}} = \dfrac{{AS.AM}}{{\sqrt {A{S^2} + A{M^2}} }} = \dfrac{{1.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {1 + \dfrac{3}{4}} }} = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}$.

Vậy $d\left( {SM,BC} \right) = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}$.

Chọn A.