Đặt điện áp xoay chiều u...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hiệu điện thế trên tụ:  

\({U_C} = I.{Z_C} = \frac{U}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} }}.{Z_C}\)

Công suất tiêu thụ:   

\(P = {I^2}.R = \frac{{{U^2}}}{{{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}.R\)

Giải chi tiết:

Hiệu điện thế trên tụ:

\(\begin{array}{l}
{U_C} = I.{Z_C} = \frac{U}{{\sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} }}.{Z_C}\\
\Rightarrow {U_C} = \frac{U}{{\sqrt {\frac{{{R^2} + Z_L^2}}{{Z_C^2}} - \frac{{2{Z_L}}}{{{Z_C}}} + 1} }} = \frac{U}{{\sqrt {\left( {{R^2} + Z_L^2} \right).{x^2} - 2{Z_L}x + 1} }}
\end{array}\)

Với \(x = \frac{1}{{{Z_C}}}\) 

U_C đạt cực đại khi mẫu cực tiểu, khi đó:

\(x = \frac{{ - b}}{{2a}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{Z_C}}} = \frac{{2{Z_L}}}{{2({R^2} + Z_L^2)}} \Rightarrow {Z_{{C_0}}} = \frac{{{R^2} + Z_L^2}}{{{Z_L}}} = \frac{{{R^2}}}{{{Z_L}}} + {Z_L}\)

Khi đó công suất tiêu thụ của đoạn mạch là :

\(\begin{array}{l}
P = {I^2}.R = \frac{{{U^2}}}{{{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_{{C_0}}}} \right)}^2}}}.R\\
\Rightarrow P = \frac{{{U^2}.R}}{{{R^2} + {{\left[ {{Z_L} - \left( {\frac{{{R^2}}}{{{Z_L}}} + {Z_L}} \right)} \right]}^2}}} = \frac{{{U^2}.R}}{{{R^2} + \frac{{{R^4}}}{{Z_L^2}}}}
\end{array}\)

Khi C = 4C₀, tức là \({Z_C} = \frac{1}{4}{Z_{{C_0}}}\) thì công suất cực đại.

Ta có công suất \(P = {I^2}.R = \frac{{{U^2}}}{{{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}}}.R\)  đạt cực đại khi Z_L = Z_C , khi đó công suất là:

\({P_{\max }} = \frac{{{U^2}}}{R} = 120\)                                        

Mà:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{Z_L} = {Z_C} = \frac{1}{4}{Z_{{C_0}}}\\
{Z_{{C_0}}} = \frac{{{R^2}}}{{{Z_L}}} + {Z_L} \Leftrightarrow {Z_{{C_0}}} = \frac{{4.{R^2}}}{{{Z_{{C_0}}}}} + \frac{1}{4}{Z_{{C_0}}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{Z_L} = {Z_C} = \frac{1}{4}{Z_{{C_0}}}\\
{Z_{{C_0}}} = \frac{3}{4}Z_{{C_0}}^2 = 4{R^2} \Rightarrow {Z_{{C_0}}} = \frac{{4R}}{{\sqrt 3 }}
\end{array} \right. \Rightarrow {Z_L} = \frac{R}{{\sqrt 3 }}
\end{array}\)

Thay giá trị Z_L vào biểu thức tính P, ta được:

\(P = \frac{{{U^2}.R}}{{{R^2} + \frac{{{R^4}}}{{Z_L^2}}}} = \frac{{{U^2}.R}}{{{R^2} + \frac{{3{R^4}}}{{{R^2}}}}} = \frac{{{U^2}.R}}{{4{R^2}}} = \frac{1}{4}\frac{{{U^2}}}{R} = \frac{1}{4}{P_{\max }} = 30{\rm{W}}\)

Chọn D.