Cho tam giác ABC cân tại A.Trên cạnh AB lấy điểm M...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) sử dụng tính chất tam giác cân, sau đó dùng giả thiết đã cho lập luận để suy ra điều phải chứng minh.

b) Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để suy ra các cặp tam giác bằng nhau, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

c) Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để chứng minh hai góc bằng nhau, sử dụng thêm tính chất hai góc kề bù để suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết:

a) Do tam giác ABC cân tại A, suy ra AB = AC.

Ta có: AM + AN = AB – BM + AC + CN = 2AB – BM + CN.

Ta lại có AM + AN = 2AB(gt), nên suy ra \(2AB-BM+CN=2AB\Leftrightarrow -BM+CN=0\Leftrightarrow BM=CN\)

Hoặc ta có thể trình bày như sau: 

AB= AM + BM (hình vẽ) 

AN = AC + CN  (hình vẽ) 

AB = AC (giả thiết) 

Ta có: 

AM + AN = 2AB (giả thiết) 

AM + (AC+CN) = AB + AB 

AM + (AC + CN) = (AM+BM) + AB

AM + (AB + CN) = (AM + BM) + AB

(AM + AB) + CN = (AM + AB ) + BM 

Suy ra: CN = BM 

Hay BM = CN (đpcm).

b) Gọi I là giao điểm của MN và BC.Vậy BM = CN (đpcm)

Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E.

Do ME // NC nên ta có:

\(\widehat{CNI}=\widehat{IME}\)(hai góc so le trong)

\(\widehat{MEI}=\widehat{NCI}\)(hai góc so le trong)

Ta chứng minh được \(\Delta MEI=\Delta NCI\,\,(g.c.g)\)

Suy ra MI = NI (hai cạnh tương ứng), từ đó suy ra I là trung điểm của MN.

c) Xét hai tam giác MIK và NIK có:

MI = IN (cmt), \(\widehat{MIK}=\widehat{NIK}={{90}^{0}}\)

IK là cạnh chung. Do đó \(\Delta MIK=\Delta NIK(c.g.c)\).

Suy ra KM = KN (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác ABK và ACK có: AB = AC(gt), \(\widehat{BAK}=\widehat{CAK}\)(do BK là tia phân giác của góc BAC), AK là cạnh chung, do đó \(\Delta ABK=\Delta ACK(c.g.c)\). Suy ra KB = KC (hai cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác BKM và CKN có: MB = CN, BK = KN, MK = KC, do đó \(\vartriangle BKM=\vartriangle CKN(c.c.c)\), suy ra \(\widehat{MBK}=\widehat{KCN}\). Mà \(\widehat{MBK}=\widehat{ACK}\Rightarrow \widehat{ACK}=\widehat{KCN}={{180}^{0}}:2={{90}^{0}}\Rightarrow KC\bot AN.\)(đpcm)