Cho G là trọng tậm của tam giác đều ABC. Chứng min...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào đinh lý về tính chất ba đường trung tuyến của một tam giác.

Giải chi tiết:

Các tia AG, BG và CG cắt BC, AC, AB lần lượt tại D, E, F thì D, E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB.

Mà   BC = AC = AB (Do tam giác ABC là tam giác đều), do đó BD = DC = CE = EA = AF = FB

Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta AFC\) ta có:  AB = AC; \(\widehat{A}\)chung; AE = AF.

Vậy \(\Delta AEB=AFC\,(c.g.c)\), suy ra BE = CF (1)

Chứng minh tương tự ta có \(\Delta BEC=ADC\,(c.g.c)\), suy ra BE = AD (2)

Từ (1) và (2) ta có:  AD = BE = CF (3)

Theo đề bài G là trọng tậm của tam giác ABC nên ta có:

          \(GA=\frac{2}{3}AD;\,\,GB=\frac{2}{3}BE;\,\,GC=\frac{2}{3}CF\)

Vì thế từ (3) ta suy ra GA = GB = GC.