Cho ba số thực dương \(x,\,y,\,z\) theo thứ tự lập...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Bước 1. Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân và \(d\) là công sai của cấp số cộng. Sử dụng giả thiết để thiết lập một hệ phương trình về mối liên hệ giữa \(x,y,z\) và \(q\) và một hệ giữa \({\log _a}x,\,\,{\log _a}y,\,\,{\log _a}z\) và \(d.\) Sử dụng các kết quả này để chứng minh \(q = 1.\)

Bước 2. Khi \(q = 1\) thì \(x = y = z.\) Thay vào biểu thức để nhận được giá trị cần tính.

Giải chi tiết:

Bước 1. Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân và \(d\) là công sai của cấp số cộng. Khi đó theo giả thiết ta có hệ cho cấp số nhân \(\left\{ \begin{array}{l}y = qx\\z = qy = {q^2}x\end{array} \right.\,\left( 1 \right),\) và hệ cho cấp số cộng \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _{\sqrt a }}y = {\log _a}x + d\\{\log _{\sqrt[3]{a}}}z = {\log _{\sqrt a }}y + d\end{array} \right.\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 2 \right)\) ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}{\log _{\sqrt a }}y = {\log _a}x + d\\{\log _{\sqrt[3]{a}}}z = {\log _{\sqrt a }}y + d\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\log _a}y = {\log _a}x + d\\3{\log _a}z = {\log _{\sqrt a }}y + d = {\log _a}x + 2d\end{array} \right.\,\,\left( 3 \right).\)

Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 3 \right)\) ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}2{\log _a}\left( {qx} \right) = {\log _a}x + d\\3{\log _a}\left( {{q^2}x} \right) = {\log _a}x + 2d\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\log _a}x + 2{\log _a}q = {\log _a}x + d\\3{\log _a}x + 6{\log _a}q = {\log _a}x + 2d\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2{\log _a}q + {\log _a}x\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\\6{\log _a}q + 2{\log _a}x = 2d\,\,\,\left( 5 \right)\end{array} \right..\,\)

Thay \(\left( 4 \right)\) vào \(\left( 5 \right)\) ta nhận được \({\log _a}q = 0 \Leftrightarrow q = 1.\)

Bước 2. Thay \(q = 1\) vào \(\left( 1 \right)\) ta nhận được \(x = y = z.\) Do đó

\(P = \dfrac{{1959x}}{y} + \dfrac{{2019y}}{z} + \dfrac{{60z}}{x} = 1959 + 2019 + 60 = 4038.\)

Chọn D.