Cho tam giác \(ABC\). Tia phân giác của góc \(B\)...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \(D) là giao điểm của \(BM\) và \(CN\); \(E\) là điểm nằm trên \(BC\) sao cho \(BE = BN\).

Chứng minh \(\Delta MNE\) đều \( \Rightarrow \widehat {BDC} = {120^0} \Rightarrow \widehat A = {60^0}\).

Giải chi tiết:

Gọi \(D\) là giao điểm của \(BM\) và \(CN\); \(E\) là điểm nằm trên \(BC\) sao cho \(BE = BN\).

\( \Rightarrow CE = BC - BE = BC - BN = CM \Rightarrow CE = CM\)

Xét \(\Delta BND\) và \(\Delta BNE\) có:

\(BN = BE\) (cách dựng)

\({\widehat B_1} = {\widehat B_2}\) (\(BM\) là phân giác \(\widehat B\))

\(BD\) cạnh chung

Suy ra \(\Delta BND = \Delta BNE\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow DN = DE\)(hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ta được \(\Delta CMD = \Delta CED\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow DM = DE\)(hai cạnh tương ứng)

Do đó \(DN = DM = DE\).

Ta có: \(BN = BE;DN = DE \Rightarrow BD\) là trung trực của \(NE \Rightarrow MD\) là trung trực của \(NE \Rightarrow MN = ME\).

\(CM = CE;DM = DE \Rightarrow CD\) là trung trực của \(ME \Rightarrow ND\) là trung trực của \(ME \Rightarrow NM = NE\).

Từ hai điều trên suy ra \(MN = ME = EN \Rightarrow \Delta MNE\) là tam giác đều.

Tam giác đều \(MNE\) có \(D\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nên:

\(\widehat {NDE} = \widehat {MDE} = \widehat {MDN} = {120^0} \Rightarrow \widehat {BDE} = \widehat {CDE} = \frac{{{{120}^0}}}{2} = {60^0} \Rightarrow \widehat {BDC} = {120^0}\)

Tam giác \(BDC\) có:

 \(\begin{array}{l}{\widehat B_1} + {\widehat C_1} + \widehat {BDC} = {180^0} \Rightarrow {\widehat B_1} + {\widehat C_1} = {180^0} - \widehat {BDC} = {180^0} - {120^0} = {60^0}\\\Rightarrow \widehat B + \widehat C = 2\left( {{{\widehat B}_1} + {{\widehat C}_1}} \right) = {2.60^0} = {120^0}\\ \Rightarrow \widehat A = {180^0} - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = {180^0} - {120^0} = {60^0}\end{array}\)

Vậy \(\widehat A = {60^0}\).