Cho Elip \((E):\,\,4{x^2} + 9{y^2} = 36\). Tọa độ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đưa phương trình Elip về dạng chính tắc.

Xác định các hệ số a, b, c. Tìm các tiêu điểm \({F_1},{F_2}\)

\(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0} \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_1}M} .\overrightarrow {{F_2}M}  = 0\)

Giải chi tiết:

\((E):\,\,4{x^2} + 9{y^2} = 36 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \Rightarrow a = 3,\,b = 2\)

Mà \({a^2} - {b^2} = {c^2} \Rightarrow {c^2} = {3^2} - {2^2} = 5 \Rightarrow c = \sqrt 5 \)

Ta có: \({F_1}\left( { - \sqrt 5 ;0} \right),\,\,{F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\)

Lấy \(M\left( {{x_0};{ y _0}} \right) \in (E) \Rightarrow 4{x_0}^2 + 9{y_0}^2 = 36\)

\(\overrightarrow {{F_1}M}  = \left( {{x_0} + \sqrt 5 ;\,{y_0}} \right),\,\,\overrightarrow {{F_2}M}  = \left( {{x_0} - \sqrt 5 ;\,{y_0}} \right)\)

Vì \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0}\) nên \(\overrightarrow {{F_1}M} .\overrightarrow {{F_2}M}  = 0 \Leftrightarrow \left( {{x_0} + \sqrt 5 } \right)\left( {{x_0} - \sqrt 5 } \right) + {y_0}^2 = 0 \Leftrightarrow {x_0}^2 + {y_0}^2 = 5\)

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{  4{x_0}^2 + 9{y_0}^2 = 36 \hfill \cr   {x_0}^2 + {y_0}^2 = 5 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_0}^2 = {9 \over 5} \hfill \cr   {y_0}^2 = {{16} \over 5} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_0} =  \pm {3 \over {\sqrt 5 }} \hfill \cr   {y_0} =  \pm {4 \over {\sqrt 5 }} \hfill \cr}  \right.\)

Vậy, các điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

\({M_1}\left( {{3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right);{M_2}\left( { - {3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right);{M_3}\left( {{3 \over {\sqrt 5 }}; - {4 \over {\sqrt 5 }}} \right);{M_4}\left( { - {3 \over {\sqrt 5 }}; - {4 \over {\sqrt 5 }}} \right)\)

Chọn: C.