Cho hàm số

Câu hỏi: Cho hàm số $\dpi{80} y=x^{4}+2(m-2)x^{2}+m^{2}-5m+5$ (Cm)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=1.2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.

A m=2

B $\dpi{100} m=2+\sqrt{3}$

C m=-2

D $\dpi{100} m=2-\sqrt[3]{3}$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

1) Với m = 1 => $y=x^{4}-2x^{2}+1$

Tập xác định D=R

Sự biến thiên:

giới hạn của hàm số tại vô cực

$\lim_{x\rightarrow -\infty }y=+\infty ; \lim_{x\rightarrow +\infty }y=+\infty$ ( 0,25đ )

Bảng biến thiên

Có $y'=4x^{3}-4x$

=> y'=0 <=> $4x(x^{2}-1)=0$

<=> $\left [ \begin{matrix} x=0 & \\ x=\pm 1 & \end{matrix}$ ( 0,25đ )

( 0,5đ )

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( -1; 0 ) và (1 ; + $\dpi{100} \infty$ )

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (- $\dpi{100} \infty$ ; -1) và (0;1)

Hàm số đạt cực đại tại x= 0; y cực đại = 1

Hàm số đạt cực tiểu tại x= $\dpi{100} \pm$ 1, y cực tiểu = 0

( 0,5đ )

Đồ thị

Cho x = 0 => y = 1

Cho y = 0 => x = $\dpi{100} \pm$ 1

Nhận xét: Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng

( 0,25đ )

2) Ta có $\dpi{100} y'=4x^{3}+4(m-2)x$

y'=0 => $\dpi{100} \left [ \begin{matrix} x=0 & \\ x^{2}=2-m (1) & \end{matrix}$

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu <=> y'=0 có 3 nghiệm phân biệt

<=> phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

<=> 2-m>0

<=> m<2 ( 0,5đ )

Có y'=0 <=> $\dpi{100} \left [ \begin{matrix} x=0 & \\ x=\pm \sqrt{2-m}& \end{matrix}$

Với x = 0 => $\dpi{100} y=m^{2}-5m+5$ => A ( 0; $\dpi{100} m^{2}-5m+5$ ) ( 0,25đ )

Với x = $\dpi{100} \sqrt{2-m}$ => y = $\dpi{100} -(2-m)^{2}+m^{2}-5m+5$

=> B( $\dpi{100} \sqrt{2-m}$ ; $\dpi{100} -(2-m)^{2}+m^{2}-5m+5$ ) ( 0,25đ )

Với x = - $\dpi{100} \sqrt{2-m}$ => y = $\dpi{100} -(2-m)^{2}+m^{2}-5m+5$

=> C ( - $\dpi{100} \sqrt{2-m}$ ; $\dpi{100} -(2-m)^{2}+m^{2}-5m+5$ ) ( 0,25đ )

Tam giác ABC đều <=> AB = BC

$\dpi{100} AB^{2}=2-m+(2-m)^{4}$ ( 0,25đ )

$\dpi{100} BC^{2}=4(2-m)$ ( 0,25đ )

$\dpi{100} AB^{2}=BC^{2}$ <=> $\dpi{100} (2-m)[(2-m)^{3}-3]=0$

<=> $\dpi{100} \left [ \begin{matrix} m=2(L) & \\ m=2-\sqrt[3]{3}(TM))& \end{matrix}$ ( 0,5đ )

$\dpi{100} m=2-\sqrt[3]{3}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

- Tổng hợp chuyên đề hàm số - Có video chữa

↑