Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D’\) có cạnh bằng...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz để giải bài toán.

Giải chi tiết:

Giả sử mặt phẳng chứa AC’ cắt hình lập phương theo thiết diện là tứ giác AEC’F. \(\left( E\in A'B';F\in CD \right)\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{align}\left( AEC'F \right)\cap \left( ABCD \right)=AF \\\left( AEC'F \right)\cap \left( A'B'C'D' \right)=EC' \\\left( ABCD \right)//\left( A'B'C'D' \right) \\\end{align} \right.\Rightarrow AF//EC’\)

Tương tự ta chứng minh được AE // FC’

\(\Rightarrow AEC'F\) là hình bình hành \(\Rightarrow {{S}_{AEC'F}}=2{{S}_{AEC'}}\)

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho \(A'\left( 0;0;0 \right);B'\left( 2;0;0 \right);C'\left( 2;2;0 \right);D'\left( 0;2;0 \right);A\left( 0;0;2 \right),B\left( 2;0;2 \right)\), \(C\left( 2;2;2 \right);D\left( 0;2;2 \right)\) .

Gọi \(E\left( x;0;0 \right)\,\,\left( 0\le x\le 2 \right)\) ta có:

\(\overrightarrow{AC'}\left( 2;2;-2 \right);\overrightarrow{AE}=\left( x;0;-2 \right)\Rightarrow {{S}_{AEC'}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AC'};\overrightarrow{AE} \right] \right|=\frac{1}{2}\sqrt{8\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)}\)

Ta có \({{x}^{2}}-2x+4={{\left( x-1 \right)}^{2}}+3\ge 3\Rightarrow {{S}_{AEC'}}\ge \frac{1}{2}\sqrt{8.3}=\sqrt{6}\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=1\), khi đó \({{S}_{AEC'\,\,\min }}=\sqrt{6}\Rightarrow {{S}_{AEC'F\,\,\min }}=2\sqrt{6}\)

Chọn D.