Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \((\alph...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi \(A\left( 0;0;a \right),\,\,\left( a>0 \right)\) viết phương trình đường thẳng AB đi qua A và vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\).

+) \(B=AB\cap \left( \alpha  \right)\), tìm tọa độ điểm B theo a.

+) Tam giác MAB cân tại M \(\Rightarrow MA=MB\), tìm a.

+) Sử dụng công thức tính diện tích \({{S}_{\Delta \,MAB}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB} \right] \right|\).

Giải chi tiết:

Gọi \(A\left( 0;0;a \right)\,\,\left( a>0 \right),\) vì \(AB\bot \,\,mp\,\,\left( \alpha  \right)\)\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(\left( AB \right):\left\{ \begin{align}  & x=t \\  & y=0 \\  & z=a-t \\ \end{align} \right..\)

Mà \(B=AB\cap \left( \alpha  \right)\)\(\Rightarrow \,\,B\left( t;0;a-t \right)\) và \(B\in \,\,mp\,\,\left( \alpha  \right)\)\(\Rightarrow \)\(t-\left( a-t \right)-3=0\Leftrightarrow t=\frac{a+3}{2}.\)

Khi đó \(B\left( \frac{a+3}{2};0;\frac{a-3}{2} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align}  & \overrightarrow{AM}=\left( 1;1;1-a \right) \\  & \overrightarrow{BM}=\left( -\frac{a+1}{2};1;\frac{5-a}{2} \right) \\ \end{align} \right.\)

\(\begin{array}{l}
AM = BM \Leftrightarrow A{M^2} = B{M^2} \Leftrightarrow 2 + {\left( {1 - a} \right)^2} = 1 + \frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - a} \right)}^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow {a^2} - 2a + 2 = \frac{{2{a^2} - 8a + 26}}{4}\\
\Leftrightarrow 2{a^2} = 18 \Leftrightarrow {a^2} = 9 \Leftrightarrow a = 3\,\,\left( {a > 0} \right)\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AM} = \left( {1;1; - 2} \right)\\
\overrightarrow {BM} = \left( { - 2;1;1} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} } \right] = \left( {3;3;3} \right)
\end{array}\)

Vậy diện tích tam giác \(MAB\) là \({{S}_{\Delta \,MAB}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{MA};\overrightarrow{MB} \right] \right|=\frac{3\sqrt{3}}{2}.\)

Chọn C.