Khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, $SA=SB=SC=a$$\Rightarrow$ Khối chóp S.ABC có: $SA=SB=SC=BA=BC=a$ và có thể tích bằng $\frac{1}{2}$ thể tích khối chóp S.ABCD. Như vậy, để thể tích  khối chóp S.ABCD lớn nhất thì thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất khi SD thay đổi.

Gọi H là trung điểm của SB.

$\Delta SAB,\,\,\Delta SBC$ là 2 tam giác đều, cạnh a  $\Rightarrow AH=CH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Và $AH\bot SB,\,\,CH\bot SB\Rightarrow SB\bot (AHC)\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.SB.{{S}_{AHC}}=\frac{1}{3}a.{{S}_{AHC}}$

Mặt khác ${{S}_{AHC}}=\frac{1}{2}.AH.CH.\sin \widehat{AHC}=\frac{1}{2}.{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}\sin \widehat{AHC}$

$\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}$ lớn nhất khi và chỉ khi $\widehat{AHC}={{90}^{0}}\Leftrightarrow AH\bot HC\Rightarrow \Delta AHC$ vuông cân tại H $\Rightarrow HO=\frac{AH}{\sqrt{2}}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

OH là đường trung bình của $\Delta SBD$ $\Rightarrow SD=2.OH=2.\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

Vậy,  để thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi độ dài cạnh SD là: $\frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Chọn: C