Phương trình \(4{{\sin }^{2}}2x-...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Giải phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và cos.

Giải chi tiết:

+) Xét  \(\cos 2x=0\Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\)  

Có \(x\in \left( 0;\ \pi  \right)\Rightarrow x=\frac{\pi }{4},\ \ x=\frac{3\pi }{4}\) thỏa mãn.

+) Xét \(\cos 2x\ne 0,\) ta chia cả hai vế của phương trình cho \({{\cos }^{2}}2x\) ta được:

\(\begin{array}{l}
\;\;\;\;4{\sin ^2}2x - 3\sin 2x\cos 2x - {\cos ^2}2x = 0\\
\Leftrightarrow 4{\tan ^2}2x - 3\tan 2x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {\tan 2x - 1} \right)\left( {4\tan 2x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan 2x - 1 = 0\\
4\tan 2x + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan 2x = 1\\
\tan 2x = - \frac{1}{4}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\
2x = \arctan \left( { - \frac{1}{4}} \right) + k\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \frac{1}{2}\arctan \left( { - \frac{1}{4}} \right) + \frac{{k\pi }}{2}
\end{array} \right..
\end{array}\)

Có \(x\in \left( 0;\ \pi  \right)\Rightarrow x=\frac{\pi }{8},\ \ x=\frac{5\pi }{8}\) thỏa mãn.

Có \(x\in \left( 0;\ \pi  \right)\Rightarrow x=\frac{\pi }{4},\ \ x=\frac{3\pi }{4}\) thỏa mãn.

Vậy có 4 nghiệm thỏa mãn.

Chọn D.