Để đồ thị hàm số \(y =  - {x^4} + 2\left( {m + 1}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) để tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số.

+) Tam giác ABC vuông tại A \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\).

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\)

Ta có \(y' =  - 4{x^3} + 4\left( {m + 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m + 1\end{array} \right.\)

Để  hàm số có 3 điểm cực trị \( \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m >  - 1\), khi đó

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 3 - m \Rightarrow A\left( {0;3 - m} \right)\\x = \sqrt {m + 1}  \Rightarrow y = {m^2} + m + 4 \Rightarrow B\left( {\sqrt {m + 1} ;{m^2} + m + 4} \right)\\x =  - \sqrt {m + 1}  \Rightarrow y = {m^2} + m + 4 \Rightarrow C\left( { - \sqrt {m + 1} ;{m^2} + m + 4} \right)\end{array} \right.\)

Dễ thấy \(A \in Oy;\,\,B,C\) đối xứng nhau qua Oy \( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại A.

Để tam giác ABC vuông, đồng nghĩa với vuông tại A \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {\sqrt {m + 1} ;{m^2} + 2m + 1} \right);\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - \sqrt {m + 1} ;{m^2} + 2m + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  =  - \left( {m + 1} \right) + {\left( {m + 1} \right)^4} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 0\\{\left( {m + 1} \right)^3} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 0\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Chọn D.