Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right);\,\,y = g\left( x \right);\,\,x = a;\,\,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\begin{array}{l}a{x^3} + b{x^2} + cx - 1 = d{x^2} + ex + \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - \dfrac{3}{2} = 0\end{array}\)

Dễ thấy phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt \( - 3; - 1;2\) nên

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - \dfrac{3}{2} = a\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {b - d} \right){x^2} + \left( {c - e} \right)x - \dfrac{3}{2} = a{x^3} + 2a{x^2} - 5ax + 6a\end{array}\)

Đồng nhất hệ số ta được:

\( - \dfrac{3}{2} = 6a \Leftrightarrow a =  - \dfrac{1}{4} \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) =  - \dfrac{1}{4}\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left| { - \dfrac{1}{4}\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \right|dx}  + \int\limits_{ - 1}^2 {\left| { - \dfrac{1}{4}\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \right|dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{4}.\dfrac{{16}}{3} + \dfrac{1}{4}.\dfrac{{63}}{4} = \dfrac{{253}}{{48}}\end{array}\)

Chọn C.