Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm s...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tính y’, tìm điều kiện để phương trình \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt.

+) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số và viết phương trình đường thẳng (d) đi qua các điểm cực trị.

+) Tìm điều kiện để \(O\left( 0;0 \right)\in d\).

Giải chi tiết:

Ta có : \(y'=3{{x}^{2}}-27a=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=9a\).

Để hàm số có cực đại, cực tiểu \(\Leftrightarrow pt\,\,y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow a>0.\)

Khi đó phương trình \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{align}  & x=3\sqrt{a}\,\Rightarrow y=-54a\sqrt{a}\Rightarrow A\left( 3\sqrt{a};-54a\sqrt{a} \right) \\  & x=-3\sqrt{a}\Rightarrow y=54a\sqrt{a}\Leftrightarrow B\left( -3\sqrt{a};54a\sqrt{a} \right) \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là :

\(\begin{align}  & \frac{x+3\sqrt{a}}{3\sqrt{a}+3\sqrt{a}}=\frac{y-54a\sqrt{a}}{-54a\sqrt{a}-54a\sqrt{a}}\Leftrightarrow \frac{x+3\sqrt{a}}{6\sqrt{a}}=\frac{y-54a\sqrt{a}}{-108a\sqrt{a}} \\  & \Leftrightarrow 18a\left( x+3\sqrt{a} \right)=-y+54a\sqrt{a}\Leftrightarrow 18ax+y=0\,\,\,\left( d \right) \\ \end{align}\) 

 Ta thấy đường thẳng d luôn đi qua gốc tọa độ với mọi \(a>0\).

Chọn D.