Cho dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chứng minh dãy số đã cho là dãy số giảm bằng cách chứng minh hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} < 0\) . Từ đó chọn kết luận đúng.

Giải chi tiết:

Ta có

 \(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{n + 2018}}{{2018n + 1}} = \frac{{n + \frac{1}{{2018}} + 2018 - \frac{1}{{2018}}}}{{2018n + 1}}\\= \frac{1}{{2018}} + \frac{{2018 - \frac{1}{{2018}}}}{{2018n + 1}} = \frac{1}{{2018}} + \frac{{{{2018}^2} - 1}}{{2018\left( {2018n + 1} \right)}} = \frac{1}{{2018}} + \frac{{2017.2019}}{{2018\left( {2018n + 1} \right)}}\\\Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{1}{{2018}} + \frac{{2017.2019}}{{2018\left( {2018\left( {n + 1} \right) + 1} \right)}}\\= \frac{1}{{2018}} + \frac{{2017.2019}}{{2018\left( {2018n + 2019} \right)}}\\\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n}\\= \frac{{2017.2019}}{{2018\left( {2018n + 2019} \right)}} - \frac{{2017.2019}}{{2018\left( {2018n + 1} \right)}}\\= \frac{{2017.2019}}{{2018}}\left( {\frac{1}{{2018n + 2019}} - \frac{1}{{2018n + 1}}} \right)\end{array}\)

Do   

\(\begin{array}{l}2018n + 2019 > 2018n + 1 \Rightarrow \frac{1}{{2018n + 2019}} < \frac{1}{{2018n + 1}}\\\Rightarrow \frac{1}{{2018n + 2019}} - \frac{1}{{2018n + 1}} < 0\\\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\end{array}\)

Suy ra dãy số đó cho là dãy số giảm.

Lại có \({u_1} = \frac{{1 + 2018}}{{2018 + 1}} = 1\). Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm và bị chặn dưới bởi 1.

Chọn B.