Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(M = 2{x^2} +...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi biểu thức \(M\) về dạng tổng các bình phương cộng hoặc trừ một hằng số. Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(M\) bằng giá trị hằng số.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;M = 2{x^2} + 5{y^2}-2xy + 2y + 2x\\ \Leftrightarrow M = 2{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}}(y - 1) + 5{y^2} + 2y\\ \Leftrightarrow M = 2\left[ {{x^2} - x(y - 1)} \right] + 5{y^2} + 2y\\ \Leftrightarrow M = 2\left[ {{x^2} - 2.x.\frac{1}{2}\left( {y - 1} \right) + \frac{{{{\left( {y - 1} \right)}^2}}}{4}} \right] - \frac{{{{\left( {y - 1} \right)}^2}}}{2} + 5{y^2} + 2y\\ \Leftrightarrow M = 2{\left( {x - \frac{{y - 1}}{2}} \right)^2} + \frac{9}{2}{y^2} + 3y - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow M = 2{\left( {x - \frac{{y - 1}}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2}\left( {9{y^2} + 6y + 1} \right) - 1\\ \Leftrightarrow M = 2{\left( {x - \frac{{y - 1}}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2}{\left( {3y + 1} \right)^2} - 1 \ge  - 1\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - \frac{{y - 1}}{2}} \right)^2} \ge 0\;\forall x,\;y\\{\left( {3y + 1} \right)^2} \ge 0\;\forall x,\;y\end{array} \right. \Rightarrow M \ge  - 1\;\forall x,\;y\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - \frac{{y - 1}}{2} = 0\\3y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{y - 1}}{2}\\y =  - \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{2}{3}\\y =  - \frac{1}{3}\end{array} \right..\)

Vậy \(Min\;\;M =  - 1\;\;khi\;\;\;x =  - \frac{2}{3};\;y =  - \frac{1}{3}.\)

Chọn C.