Cho\(AB{\rm{ }} = {\rm{ }}8cm,{\rm{ }}AC{\rm{ }} =...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tính diện tích tam giác CBD và tam giác CMA, từ đó tính diện tích tứ giác AMBD. 

Giải chi tiết:

AM là phân giác \(\angle CAB \Rightarrow \angle MAB = {45^0}\)

Mà \(\angle MAB = \angle ICB\) (chứng minh câu c)

\( \Rightarrow \angle ICB = {45^0}\)

\(\Delta KBC\) vuông tại K có \(\angle KCB = {45^0}\)

\( \Rightarrow \angle CBK = {45^0}\)
\(\Delta MB{\rm{D}}\) vuông tại M có \(\angle MB{\rm{D}} = {45^0}\)

\( \Rightarrow \angle M{\rm{D}}B = {45^0}\)

Hay \(\Delta MB{\rm{D}}\) vuông cân tại M. \( \Rightarrow MB = M{\rm{D}}\).

\(\Delta ABC\) \( \Rightarrow \frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{MC}}{{AC}}\)có AM là phân giác.

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông ABC ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Leftrightarrow {8^2} + {6^2} = B{C^2} \Rightarrow BC = 10\;cm\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\)   \(\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{MC}}{{AC}} = \frac{{MB + MC}}{{AB + AC}} = \frac{5}{7}\)

\( \Rightarrow \frac{{MB}}{{AB}} = \frac{5}{7} \Rightarrow MB = \frac{{40}}{7} \Rightarrow MD = MB = \frac{{40}}{7}\)

Vậy \({S_{\Delta CB{\rm{D}}}} = \frac{1}{2}.CB.DM = \frac{1}{2}.10.\frac{{40}}{7} = \frac{{200}}{7}\;c{m^2};\,\,\,{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.8.6 = 24\;c{m^2}\)\(\)

\(\Delta ABC\) có AM là phân giác:

\( \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta CMA}}}}{{{S_{\Delta BMA}}}} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta CMA}}}}{3} = \frac{{{S_{\Delta BMA}}}}{4} = \frac{{{S_{\Delta CMA}} + {S_{\Delta BMA}}}}{{3 + 4}} = \frac{{24}}{7} \Rightarrow {S_{\Delta CMA}} = \frac{{72}}{7}\;c{m^2}\)

Vậy \({S_{AMB{\rm{D}}}} = {S_{\Delta CB{\rm{D}}}} - {S_{\Delta CMA}} = \frac{{200}}{7} - \frac{{72}}{7} = \frac{{128}}{7}\;c{m^2}\)