Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có t...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Thể tích hình chóp cụt: \(V = \dfrac{h}{3}\left( {B + B' + \sqrt {BB'} } \right)\) . Với \(B,B',h\)là diện tích hai đáy và chiều cao.

+) \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right)//\left( Q \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( P \right) = a\\\left( \alpha  \right) \cap \left( Q \right) = b\end{array} \right.\,\,\,\, \Rightarrow a//b\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right)//\left( {A'B'C'} \right)\\\left( {A'MN} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MP\\\left( {A'MN} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = A'N\end{array} \right.\,\,\,\, \Rightarrow MP//A'N\)

Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\) ta có \(AE//A'N \Rightarrow MP//AE\). Lại có \(M\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow P\) là trung điểm của \(BE\).

 Dễ dàng chứng minh được: khối đa diện \(MBP.A'B'N\) là hình chóp cụt, có thể tích là:

\(V = \dfrac{{BB'}}{3}.\left( {{S_{BMP}} + {S_{A'B'N}} + \sqrt {{S_{BMP}}.{S_{A'B'N}}} } \right)\)

\({S_{BMP}} = \left( {\dfrac{{BM}}{{BA}}.\dfrac{{BP}}{{BC}}} \right).{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{8}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}\)

\({S_{A'B'N}} = \dfrac{{B'N}}{{B'C'}}.{S_{A'B'C'}} = \dfrac{1}{2}.{S_{A'B'C'}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\)

\( \Rightarrow V = \dfrac{a}{3}.\left( {\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8} + \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{32}} + \sqrt {\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}} } \right) = \dfrac{a}{3}.\dfrac{{7{a^2}\sqrt 3 }}{{32}} = \dfrac{{7{a^3}\sqrt 3 }}{{96}}\).

Chọn: B