Cho \(\Delta ABC,\) đặt \(\overrightarrow{AB}=\vec...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

1. Xét \(\Delta APB,\)  ta có: \(2\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AP} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AP}  = 2\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AP}  = 2\vec v - \vec u.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
2.\,\,\overrightarrow {RP} = \overrightarrow {RA} + \overrightarrow {AP} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AP} = - \frac{1}{3}\vec u + 2\vec v - \vec u = 2\vec v - \frac{4}{3}\vec u = \frac{4}{6}\left( {3\vec v - \overrightarrow {2u} } \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
\overrightarrow {RQ} = \overrightarrow {RA} + \overrightarrow {AQ} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} = - \frac{1}{3}\vec u + \frac{1}{2}\vec v = \frac{1}{6}\left( {3\vec v - 2\vec u} \right)\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array}\)

3.Từ (1) và (2) ta có : \(\overrightarrow {RP}  = 4\overrightarrow {RQ} \)

Do đó \(\overrightarrow{RP},\,\,\overrightarrow{RQ}\) cùng phương, và có chung điểm gốc \(R\)  nên \(P,\,\,Q,\,\,R\)  thẳng hàng.