Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện

B

- Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có:

$$\begin{gathered} 3^{x^2+y^2-2}.{\log }_2\left(x-y\right)=\frac{1}{2}\left[1+{\log }_2\left(1-xy\right)\right] \\ \iff 3^{x^2+y^2-2}.{\log }_2{\left(x-y\right)}^2={\log }_2\left(2-2xy\right) \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} \iff 3^{x^2+2xy+y^2-2+2xy}.{\log }_2{\left(x-y\right)}^2={\log }_2\left(2-2xy\right) \\ \iff 3^{{\left(x-y\right)}^2}.{\log }_2\left(x-y\right)=3^{2-2xy}.{\log }_2\left(2-2xy\right) \end{gathered}$$ 

Xét hàm số $f\left(t\right)=3^t.{\log }_{2}t$ trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$, có $f\text{'}\left(t\right)=3^t\ln 3.{\log }_{2}t+\frac{3^t}{t.\ln 2}>0;\forall t>0$

Suy ra $f\left(t\right)$ là hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$mà

$$\begin{gathered} f\left[{\left(x-y\right)}^2\right]=f\left(2-2xy\right) \\ \Rightarrow x^2+y^2=2 \end{gathered}$$

Khi đó:

$$\begin{gathered} M=2\left(x^3+y^3\right)-3xy \\ =2\left(x+y\right)\left[{\left(x+y\right)}^2-3xy\right]-3xy \\ \begin{array}{l}\iff 2M=2\left(x+y\right)\left[2{\left(x+y\right)}^2-3.2xy\right]-3.2xy\\ 2\left(x+y\right)\left[2{\left(x+y\right)}^2-3{\left(x+y\right)}^2+6\right]-3{\left(x+y\right)}^2+6\\ =2\left(x+y\right)\left[6-{\left(x+y\right)}^2\right]-3{\left(x+y\right)}^2+6\\ =-2a^3-3a^2+12a+6,\end{array} \end{gathered}$$

Với $a=x+y\in \left(0;4\right)$

Xét hàm số $f\left(a\right)=-2a^3-3a^2+12a+6$ trên $\left(0;4\right)$,

suy ra $\underset{\left(0;4\right)}{m\text{ax}}f\left(a\right)=13.$ 

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là $\frac{13}{2}$