Một con lắc đơn có sợi dây dài...

- Hướng dẫn giải

Chọn mốc thế năng ở vị trí cân bằng

a. Ta có cơ năng

$$\begin{gathered} \text{W}=mgz=mgl(1-\cos {60}^0) \\ =0,\mathrm{5.10.1}(1-0,5)=2,5\left(J\right) \end{gathered}$$

b. Theo định luật bảo toàn cơ năng

$$\begin{gathered} {\text{W}}_A={\text{W}}_B\Rightarrow mg{z}_A=\frac{1}{2}m{v}_B^2+mg{z}_B \\ \Rightarrow v_B=\sqrt{2g(z_A-z_B)}\begin{array}{cc}& \left(1\right)\end{array} \\ Mà z_A=HM=l-OM=l-l\cos {\alpha }_0 \\ {z}_B=l-l\cos \alpha \end{gathered}$$ 

Thay vào ( 1 ) ta có 

$$\begin{gathered} v_B=\sqrt{2gl(\cos \alpha -\cos {\alpha }_0)} \\ + Khi \alpha ={30}^0 \\ \Rightarrow v_B=\sqrt{2gl(\cos {30}^0-\cos {60}^0)} \\ \Rightarrow v_B=\sqrt{\mathrm{2.10.1}(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2})}\approx 2,71(m/s) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} + Khi \alpha ={45}^0 \\ \Rightarrow v_B=\sqrt{2gl(\cos {45}^0-\cos {60}^0)} \\ \Rightarrow v_B=\sqrt{\mathrm{2.10.1}(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2})}\approx 2,035(m/s) \end{gathered}$$

Xét tai B theo định luật II Newton ta có: $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{a}$

Chiếu theo phương của dây

$$\begin{gathered} T-P_y=m{a}_{ht} \\ \Rightarrow T-P\cos \alpha =m\frac{v^2}{l} \\ \Rightarrow T-mg\cos \alpha \\ =2mg(\cos \alpha -\cos {\alpha }_0) \\ \Rightarrow T=mg(3\cos \alpha -2\cos {\alpha }_0) \end{gathered}$$

Khi $\alpha ={30}^0$$\Rightarrow T=mg(3\cos {30}^0-2\cos {60}^0)$

$\Rightarrow T=0,5.10(3.\frac{\sqrt{3}}{2}-2.\frac{1}{2})=7,99\left(N\right)$

Khi $\alpha ={45}^0$ $\Rightarrow T=mg(3\cos {45}^0-2\cos {60}^0)$

$\Rightarrow T=0,5.10(3.\frac{\sqrt{2}}{2}-2.\frac{1}{2})=5,61 N$

Lưu ý: Khi làm trắc nghiệm thì các em áp dụng luôn hai công thức

+ Vận tốc của vật tại vị trí bất kỳ: $v_B=\sqrt{2gl(\cos \alpha -\cos {\alpha }_0)}$

+ Lực căng của sợi dây: $T=mg(3\cos \alpha -2\cos {\alpha }_0)$

c. Gọi C là vị trí để vật có  v= 1,8m/s

Áp dụng công thức $v_C=\sqrt{2gl(\cos \alpha -\cos {\alpha }_0)}$

$$\begin{gathered} 1,8=\sqrt{\mathrm{2.10.1}(\cos \alpha -\cos {60}^0)} \\ \Rightarrow \cos \alpha =0,662\Rightarrow \alpha =48,{55}^0 \end{gathered}$$

Vật có đọ cao

 $z_C=l-l\cos \alpha =1-1.0,662=0,338\left(m\right)$

d. Gọi D là vị trí vật có độ cao 0,18m

Áp dụng công thức 

$$\begin{gathered} z_D=l-l\cos \alpha \\ \Rightarrow 0,18=1-1.\cos \alpha \\ \Rightarrow \cos \alpha =0,82 \end{gathered}$$

Áp dụng công thức 

$$\begin{gathered} v_D=\sqrt{2gl(\cos \alpha -\cos {\alpha }_0)} \\ =\sqrt{\mathrm{2.10.1.}(0,82-0,5)}=2,53(m/s) \end{gathered}$$

e. Gọi E là vị trí mà 2$w_t=w_{đ}$  Theo định luật bảo toàn cơ năng ${\text{W}}_A={\text{W}}_E$

  $$\begin{gathered} {\text{W}}_A={\text{W}}_{dE}+{\text{W}}_{tE}=\frac{3}{2}{\text{W}}_{dE} \\ \Rightarrow 2,5=\frac{3}{2}.\frac{1}{2}.m{v}_E^2 \\ \Rightarrow v_E=\sqrt{\frac{2,5.4}{3.m}}=\sqrt{\frac{10}{3.0,5}}=2,581(m/s) \end{gathered}$$ 

f.  Gọi F là vị trí để 2 $w_t=3w_{đ}$

Theo định luật bảo toàn cơ năng  ${\text{W}}_A={\text{W}}_F$

$$\begin{gathered} {\text{W}}_A={\text{W}}_{dF}+{\text{W}}_{tF}=\frac{5}{3}{\text{W}}_{tF} \\ \Rightarrow 2,5=\frac{5}{3}.mg{z}_F \\ \Rightarrow z_F=\frac{2,5.3}{5.m.g}=0,3\left(m\right) \\ Mà z_F=l-l\cos {\alpha }_F \\ \Rightarrow 0,3=1-1.\cos {\alpha }_F \\ \Rightarrow \cos {\alpha }_F=0,7 \\ \Rightarrow {\alpha }_F=45,{573}^0 \end{gathered}$$

Mặt khác $$\begin{gathered} v_F=\sqrt{2gl(\cos {\alpha }_F-\cos {60}^0)} \\ =\sqrt{\mathrm{2.10.1}(0,7-0,5)}=2(m/s) \end{gathered}$$

Xét tại F theo định luật II Newton  $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{a}$

Chiếu theo phương của dây 

$$\begin{gathered} -P\cos {\alpha }_F+T_F \\ =m\frac{v_F^2}{l} \\ \Rightarrow -0,\mathrm{5.10.0},7+T_F=0,5.\frac{2^2}{1} \\ \Rightarrow T=5,5\left(N\right) \end{gathered}$$