Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết: Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau \(a,b\) bằng góc giữa đường thẳng \(a\) với mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(b\) mà song song với \(a\).

Giải chi tiết:

Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\) thì \(AB//MN\) suy ra \(d\left( {AB,SM} \right) = d\left( {AB,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right)\)

Gọi \(E\) là hình chiếu của \(A\) lên \(MN\) \( \Rightarrow ME \bot AE\), mà \(ME \bot SA\) \( \Rightarrow NE \bot \left( {SAE} \right)\).

Gọi \(F\) là hình chiếu của \(A\) lên \(SE\) \( \Rightarrow AF \bot SE\).

Mà \(EN \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow NE \bot AF\).

Do đó \(AF \bot \left( {SEN} \right)\) hay \(d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SEN} \right)} \right) = AF\).

Tam giác \(SAE\) vuông tại \(A\) có \(\dfrac{1}{{A{F^2}}} = \dfrac{1}{{A{S^2}}} + \dfrac{1}{{A{E^2}}} = \dfrac{1}{{12{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{{13}}{{12{a^2}}} \Rightarrow A{F^2} = \dfrac{{12{a^2}}}{{13}} \Leftrightarrow AF = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\)

Vậy \(d\left( {AB,SM} \right) = \dfrac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\).

Chọn A.