Biết phương trình \({\log _5}\frac{{2\sqrt x  + 1}...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x > 1\)

Ta có: \({\log _5}\frac{{2\sqrt x  + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt x }}} \right) \Leftrightarrow {\log _5}\frac{{2\sqrt x  + 1}}{x} = 2{\log _3}\left( {\frac{{x - 1}}{{2\sqrt x }}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2\sqrt x  + 1} \right) - {\log _5}x = 2{\log _3}\left( {x - 1} \right) - 2{\log _3}\left( {2\sqrt x } \right)\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {2\sqrt x  + 1} \right) + 2{\log _3}\left( {2\sqrt x } \right) = {\log _5}x + 2{\log _3}\left( {x - 1} \right)\;\;\;\;\left( 1 \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _5}t + 2{\log _3}\left( {t - 1} \right),\,\,t \in \left( {1; + \infty } \right)\), có: \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t.\ln 5}} + \frac{2}{{\left( {t - 1} \right).\ln 3}} > 0,\,\,\forall \,\,t \in \left( {1; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \)Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Khi đó, phương trình (1) \( \Leftrightarrow f\left( {2\sqrt x  + 1} \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow 2\sqrt x  + 1 = x \Leftrightarrow x - 2\sqrt x  - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x  = 1 + \sqrt 2 \\\sqrt x  = 1 - \sqrt 2  < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x  = 1 + \sqrt 2  \Leftrightarrow x = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} = 3 + 2\sqrt 2 \) \( \Rightarrow a = 3,\,\,b = 2\,\,\, \Rightarrow 2a + b = 2.3 + 2 = 8\).

Chọn: B