Một hình nón đỉnh \(S\) có bán kính đáy bằng \(2a\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Giả sử \(O\) là tâm đáy và \(AB\) là một đường kính của đường tròn đáy hình nón. Thiết diện qua đỉnh của hình nón là tam giác cân \(SAM\). Theo giả thiết hình nón có bán kính đáy \(R = OA = 2a\sqrt 3 \), \(\widehat {ASB} = 120^\circ \) nên \(\widehat {ASO} = 60^\circ \). Xét tam giác \(SOA\) vuông tại \(O\), ta có \(\sin 60^\circ  = \frac{{OA}}{{SA}}\)\( \Rightarrow SA = \frac{{OA}}{{\sin 60^\circ }} = 4a\).

Diện tích thiết diện là \({S_{SAM}} = \frac{1}{2}SA.SM.\sin \widehat {ASM} = \frac{1}{2}.4a.4a.\sin \widehat {ASM} = 8{a^2}.\sin \widehat {ASM}\)

Do \(0 < \sin \widehat {ASM} \le 1\) nên \({S_{SAM}}\) lớn nhất khi và chỉ khi \(\sin \widehat {ASM} = 1\) hay khi tam giác \(ASM\) vuông cân đỉnh \(S\) (vì \(\widehat {ASB} = 120^\circ  > 90^\circ \) nên tồn tại tam giác \(ASM\) thoả mãn).

Vậy diện tích thiết diện lớn nhất là \({S_{\max }} = 8{a^2}{\mkern 1mu} \)(đvdt).

Chọn A.