Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+\left( 1-2m \right){{x}^{...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

\(y={{x}^{3}}+\left( 1-2m \right){{x}^{2}}+\left( 2-m \right)x+m+2\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}+2\left( 1-2m \right)x+2-m\)

Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì \(\Delta '>0\Leftrightarrow {{\left( 1-2m \right)}^{2}}-3.\left( 2-m \right)>0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-m-5>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m\frac{5}{4} \\\end{align} \right.\)

Giả sử \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}},\,\,\left( {{x}_{1}}<\,{{x}_{2}} \right)\) là nghiệm của phương trình \(y'=0\). Theo Vi – ét: \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{4m-2}{3},\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{2-m}{3}\)

Do \(a=1>0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x={{x}_{2}}\)

Theo đề bài, ta có: điểm cực tiểu nhỏ hơn 1\( \Rightarrow {x_1} < {x_2} < 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) > 0\\
\left( {{x_1} - 1} \right) + \left( {{x_2} - 1} \right) < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 > 0\\
\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2 < 0
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{2 - m}}{3} - \frac{{4m - 2}}{3} + 1 > 0\\
\frac{{4m - 2}}{3} - 2 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- 5m + 7 > 0\\
4m - 8 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m < \frac{7}{5}\)

Vậy, để đồ thị của hàm số đã cho có 2 điểm cực trị, đồng thời điểm cực tiểu nhỏ hơn 1 thì \(m\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( \frac{5}{4};\frac{7}{5} \right)\).

Chọn: C