Cho hàm số \(y = \frac{{m\cos x + m - 1}}{{\sin \,...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(\begin{array}{l}\sin f\left( x \right) < m\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow m > 1\\\sin f\left( x \right) > mm\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow m <  - 1\end{array}\)

Giải chi tiết:

\(y < 1,\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow \frac{{m\cos x + m - 1}}{{\sin \,x + \cos x + 3}} < 1,\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow m\cos x + m - 1 < \sin \,x + \cos x + 3,\,\,\forall x \in R\)

(vì \(\sin \,x + \cos x + 3 > 0,\,\,\forall x \in R\))

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\cos x - \sin \,x < 4 - m,\,\,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \frac{{m - 1}}{{\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1} }}\cos x - \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1} }}\sin \,x < \frac{{4 - m}}{{\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1} }},\,\,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \sin \alpha \cos x - \cos \alpha \sin \,x < \frac{{4 - m}}{{\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1} }},\,\,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\alpha  - x} \right) < \frac{{4 - m}}{{\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1} }},\,\,\forall x \in R\end{array}\)

( với \(\sin \alpha  = \frac{{m - 1}}{{\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1} }},\,\,\cos \alpha  = \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1} }}\))

Để bất phương trình luôn đúng với \(\forall x \in R\) thì \(\frac{{4 - m}}{{\sqrt {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 1} }} > 1 \Leftrightarrow {\left( {4 - m} \right)^2} > {\left( {m - 1} \right)^2} + 1\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 16 > {m^2} - 2m + 1 + 1 \Leftrightarrow 6m < 14 \Leftrightarrow m < \frac{7}{3}\).

Chọn: C