Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-2{{m}^{2}}{{x}^{2}}+{{m}^...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị.

+) Xác định các điểm cực trị của đồ thị hàm số A, B, C \(\left( A\in Oy \right)\).

+) Gọi I là trung điểm của BC, để ABOC là hình thoi \(\Rightarrow I\) là trung điểm của OA.

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D=R\).

Ta có \(y'=4{{x}^{3}}-4{{m}^{2}}x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  x=0 \\  {{x}^{2}}={{m}^{2}} \\ \end{align} \right.\)

Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị \(\Leftrightarrow m>0\).

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( 0;{{m}^{2}} \right);\,\,B\left( m;-{{m}^{4}}+{{m}^{2}} \right);\,\,C\left( -m;-{{m}^{4}}+{{m}^{2}} \right)\)

Dễ thấy B, C đối xứng qua trục Oy.

Gọi I là trung điểm của BC ta có \(I\left( 0;-{{m}^{4}}+{{m}^{2}} \right)\) . Để tứ giác ABOC là hình thoi \(\Rightarrow I\) phải là trung điểm của OA \(\Rightarrow {{m}^{2}}=-2{{m}^{4}}+2{{m}^{2}}\Leftrightarrow 2{{m}^{4}}={{m}^{2}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}\left( 2{{m}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Chọn D.