Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m,...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 +) Gắn hệ trục tọa độ, tìm phương trình parabol. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành.

+) Gọi \({{x}_{A}}=a\Rightarrow AB=2a\), tính diện tích hình S1 của phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng AB.

+) Sử dụng giả thiết \({{S}_{1}}=\frac{1}{3}S\) tìm a và suy ra AB

+) Tương tự tìm độ dài đoạn CD và tính tỉ số. 

Giải chi tiết:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ : Ta dễ dàng tìm được phương trình parabol là \(y=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+18\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành là \(S=\int\limits_{-6}^{6}{\left( -\frac{1}{2}{{x}^{2}}+18 \right)dx}=\left. \left( -\frac{{{x}^{3}}}{6}+18x \right) \right|_{-6}^{6}=144.\)

Gọi \({{x}_{A}}=a\Rightarrow {{y}_{A}}=-\frac{1}{2}{{a}^{2}}+18\) \(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng AB : \(y=-\frac{1}{2}{{a}^{2}}+18\) và \({{x}_{C}}=c\Rightarrow {{y}_{c}}=-\frac{1}{2}{{c}^{2}}+18\) \(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng CD : \(y=-\frac{1}{2}{{c}^{2}}+18\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng AB là: 

\(\begin{array}{l}
{S_1} = \int\limits_{ - a}^a {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + 18 + \frac{1}{2}{a^2} - 18} \right)dx} \\
\,\,\,\,\, = \int\limits_{ - a}^a {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{2}{a^2}} \right)dx} = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{{a^2}}}{2}x} \right)} \right|_{ - a}^a\\
\,\,\,\,\, = - \frac{{{a^3}}}{6} + \frac{{{a^3}}}{2} - \left( {\frac{{{a^3}}}{6} - \frac{{{a^3}}}{2}} \right) = \frac{{2{a^3}}}{3}.\\
{S_1} = \frac{1}{3}S \Rightarrow \frac{2}{3}{a^3} = \frac{1}{3}.144 = 48\\
\Rightarrow a = 2\sqrt[3]{9} \Rightarrow AB = 2a = 4\sqrt[3]{9}.
\end{array}\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng CD là:

\(\begin{array}{l}
{S_2} = \int\limits_{ - c}^c {\left( { - \frac{1}{2}{x^2} + 18 + \frac{1}{2}{c^2} - 18} \right)dx} = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{{c^2}}}{2}x} \right)} \right|_{ - c}^c\\
\,\,\,\,\,\,\, = - \frac{{{c^3}}}{6} + \frac{{{c^3}}}{2} - \left( {\frac{{{c^3}}}{6} - \frac{{{c^3}}}{2}} \right) = \frac{{2{c^3}}}{3}.\\
{S_2} = \frac{2}{3}S \Rightarrow \frac{2}{3}{c^3} = \frac{2}{3}.144 = 96\\
\Rightarrow c = 2\sqrt[3]{{18}} \Rightarrow CD = 2c = 4\sqrt[3]{{18}}\\
\Rightarrow \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}
\end{array}\)

Chọn C.