Cho tam giác ABC. Gọi I là trung...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a) Vì I là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AI}  \Rightarrow \overrightarrow {AI}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

Vì \(KC = 2AK\) nên \(AK = \frac{1}{3}AC \Rightarrow \overrightarrow {AK}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).

Ta có: \(\overrightarrow {KI}  = \overrightarrow {AI}  - \overrightarrow {AK}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \)

b) Đặt \(A = 2M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\)  ta có:

\(\begin{array}{l}A = 2{\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2}\\A = 2{\left( {\overrightarrow {MJ}  + \overrightarrow {JA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MJ}  + \overrightarrow {JB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MJ}  + \overrightarrow {JC} } \right)^2}\\A = 2M{J^2} + 4\overrightarrow {MJ} .\overrightarrow {JA}  + 2J{A^2} + M{J^2} + 2\overrightarrow {MJ} .\overrightarrow {JB}  + J{B^2} + M{J^2} + 2\overrightarrow {MJ} .\overrightarrow {JC}  + J{C^2}\\A = 4M{J^2} + 2\overrightarrow {MJ} \left( {2\overrightarrow {JA}  + \overrightarrow {JB}  + \overrightarrow {JC} } \right) + J{A^2} + J{B^2} + J{C^2}\end{array}\)

Gọi J là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {JA}  + \overrightarrow {JB}  + \overrightarrow {JC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow 2\overrightarrow {JA}  + 2\overrightarrow {JI}  = 0 \Leftrightarrow \) J là trung điểm của AI.

Khi đó ta có: \(A = 4M{J^2} + 2J{A^2} + J{B^2} + J{C^2}\)

Vì \(2J{A^2} + J{B^2} + J{C^2} = const \Rightarrow {A_{\min }} \Leftrightarrow M{J_{\min }} \Leftrightarrow M \equiv J\).

Vậy \(A = 2M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) nhỏ nhất khi và chỉ khi M là trung điểm của AI.