Hệ số của \({x^7}\) trong khai triển \({\left( {1...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng Công thức khai triển nhị thức Newton: \({(x + y)^n} = \sum\limits_{i = 0}^n {C_n^i{x^i}.{y^{n - i}}} \)

Công thức tổ hợp chập k của n phần tử: \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n + 4} \right)!}}{{\left( {n + 1} \right)!.3!}} - \dfrac{{\left( {n + 3} \right)!}}{{n!.3!}} = 7\left( {n + 3} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n + 4} \right)\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}{6} - \dfrac{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}{6} = 7\left( {n + 3} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)\left[ {\left( {n + 4} \right) - \left( {n + 1} \right)} \right] = 7\left( {n + 3} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right) = 14\left( {n + 3} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {n + 3} \right)\left( {n + 2 - 14} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {n + 3} \right)\left( {n - 12} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n =  - 3\,\,\left( {ktm} \right)\\n = 12\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó: \({\left( {1 + 2x} \right)^n} = {\left( {1 + 2x} \right)^{12}} = \sum\limits_{i = 0}^{12} {C_{12}^i{{\left( {2x} \right)}^i}}  = \sum\limits_{i = 0}^{12} {C_{12}^i{2^i}.{x^i}} \)

Số hạng chứa \({x^7}\) ứng với \(i = 7\). Hệ số của \({x^7}\) trong khai triển là:  \(C_{12}^7{2^7}\).

Chọn: A