Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \(u = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}\), tìm khoảng giá trị của u.

+) Đặt \(t = \sin u\), tìm khoảng giá trị của t.

+) Đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m\). Lập BBT của hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên khoảng giá trị của t và biện luận.

Giải chi tiết:

Đặt \(u = \frac{{2x}}{{1 + {x^2}}}\). \(x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow u \in \left[ {0;1} \right]\). Khi đó phương trình trở thành: \(2{\sin ^2}u - \sin u - m = 0\)

Đặt \(t = \sin u;\,\,u \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;\sin 1} \right]\), phương trình trở thành \(2{t^2} - t - m = 0 \Leftrightarrow 2{t^2} - t = m\,\,\left( * \right)\) (với \(t \in \left[ {0;\sin 1} \right]\)).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(f\left( t \right) = 2{t^2} - t\)  (với \(t \in \left[ {0;\sin 1} \right]\)) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 2{t^2} - t\)  (với \(t \in \left[ {0;\sin 1} \right]\)) ta có BBT:

Khi đó phương trình (*) có nghiệm \(t \in \left[ {0;\sin 1} \right] \Leftrightarrow  - \frac{1}{8} \le m \le 2{\sin ^2}1 - \sin 1\).