Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm \(...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(ABCD\) là hình thoi 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \\
\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = 0
\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow{AM}=\left( 3;4;0 \right);\,\,\overrightarrow{AN}=\left( 2;2;1 \right)\)

 phương trình đường thẳng AM và AN lần lượt là :

\(\begin{array}{l}
\left( {AM} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 3t\\
y = - 1 + 4t\\
z = 1
\end{array} \right.;\,\,\,\left( {AN} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 2t'\\
y = - 1 + 2t'\\
z = 1 + t'
\end{array} \right.\\
B \in AM \Rightarrow B\left( {2 + 3t; - 1 + 4t;1} \right);\,\,\,D \in AN \Rightarrow D\left( {2 + 2t'; - 1 + 2t';1 + t'} \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {3t;4t;0} \right);\,\,\overrightarrow {DC} = \left( {{x_C} - 2 - 2t';\,{y_C} + 1 - 2t';{z_C} - 1 - t'} \right)
\end{array}\)

Do  là hình thoi  \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_C} - 2 - 2t' = 3t\\
{y_C} + 1 - 2t' = 4t\\
{z_C} - 1 - t' = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_C} = 3t + 2t' + 2\\
{y_C} = 4t + 2t' - 1\\
{z_C} = t' + 1
\end{array} \right.\)

Mà  \(C \in \left( P \right) \Rightarrow 4t + 2t' - 1 + t' + 1 = 27 \Leftrightarrow 4t + 3t' = 27\)

ABCD là hình thoi  \( \Rightarrow \overrightarrow {AC}  \bot \overrightarrow {BD}  \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = 0\)

Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( {3t + 2t';4t + 2t';t'} \right);\,\,\overrightarrow {BD}  = \left( {2t' - 3t;2t' - 4t;t'} \right)\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left( {3t + 2t'} \right)\left( {2t' - 3t} \right) + \left( {4t + 2t'} \right)\left( {2t' - 4t} \right) + t{'^2} = 0\\
\Leftrightarrow 4t{'^2} - 9{t^2} + 4t{'^2} - 16{t^2} + t{'^2} = 0\\
\Leftrightarrow 9t{'^2} = 25{t^2}\\
\Leftrightarrow 3t' = \pm 5t
\end{array}\)

TH1 : 

\(\left\{ \begin{array}{l}
4t + 3t' = 27\\
3t' = 5t
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = 3\\
t' = 5
\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {21;21;6} \right)\)

TH2 : 

\(\left\{ \begin{array}{l}
4t + 3t' = 27\\
3t' = - 5t
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = - 27\\
t' = 45
\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {11; - 19;46} \right)\)

Chọn B.