Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phươn...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ, cô lập m, đưa về khảo sát hàm số theo biến t và biện luận m

Giải chi tiết:

Đặt \(t={{2}^{x}}>0,\) khi đó phương trình \(\Leftrightarrow \)\({{t}^{2}}+t+4={{3}^{m}}\left( t+1 \right)\Leftrightarrow {{3}^{m}}=\frac{{{t}^{2}}+t+4}{t+1}=t+\frac{4}{t+1}=g\left( t \right).\)

Xét hàm số \(g\left( t \right)=t+\frac{4}{t+1}\) trên \(\left( 0;+\,\infty  \right),\) có \({g}'\left( t \right)=1-\frac{4}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=0\Rightarrow t=1.\)

Bảng biến thiên:

Do mỗi giá trị của \(t\) có một giá trị của \(x\) nên phương trình đã cho có 2 nghiệm khi phương trình \(g\left( t \right)={{3}^{m}}\) có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow 3<{{3}^{m}}<4\Leftrightarrow 1<m<{{\log }_{3}}4\).

Chọn D