Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy b...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm được chiều cao của hình lăng trụ.

Dựa vào dữ kiện \(A'B \bot BC'\) nên tam giác A’BC’ vuông tại B có \(A’C’ = a\).

Giải chi tiết:

Dựng BI song song với AB’ cắt A’B’ tại I. Dễ thấy ABIB’ là hình bình hành

\( \Rightarrow B'I = AB = A'B' \Rightarrow \) B’ là trung điểm của A’I.

Đặt AA’ = x nên ta có: \(AB' = \sqrt {{a^2} + {x^2}}  = BI,BC' = \sqrt {B{C^2} + CC{'^2}}  = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \)

Tam giác A’C’I vuông tại C’ (do trung tuyến bẳng một nửa cạnh huyền \(B'C' = A'B' = B'I = {1 \over 2}A'I\))

Nên C’I=\(C'I = A'I.\sin {60^0} = 2a.{{\sqrt 3 } \over 2} = \sqrt 3 a.\)

Do AB’ vuông góc với BC’ nên BI cũng vuông góc với BC’ nên tam giác C’BI vuông tại B, ta có:

\(\eqalign{  & C'{I^2} = I{B^2} + BC{'^2} \Leftrightarrow 3{a^2} = {a^2} + {x^2} + {a^2} + {x^2} = 2{a^2} + 2{x^2} \Rightarrow x = {a \over {\sqrt 2 }}  \cr   & {\rm{V}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{AA}}'.{S_{ABC}} = {a \over {\sqrt 2 }}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} = {{\sqrt 6 } \over 8}{a^3} \cr} \)

Chọn C.