Cho phương trình \({{\text{e}}^{m\cos x-\sin x}}-...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hàm số (hàm đại diện) đưa về phương trình lượng giác cơ bản, áp dụng điều kiện để phương trình \(a\sin x+b\cos x=c\) có nghiệm \(\Leftrightarrow \,\,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}\) 

Giải chi tiết:

 Ta có \({{\text{e}}^{m\cos x-\sin x}}-{{\text{e}}^{2\left( 1-\sin x \right)}}=2-\sin x-m\cos x\)\(\Leftrightarrow {{\text{e}}^{m\cos x-\sin x}}+m\cos x-\sin x={{\text{e}}^{2\left( 1-\sin x \right)}}+2\left( 1-\sin x \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{\text{e}}^{t}}+t\) \(\left( t\in \mathbb{R} \right)\), \({f}'\left( t \right)={{\text{e}}^{t}}+1>0\)\(\Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Suy ra \({{\text{e}}^{m\cos x-\sin x}}+m\cos x-\sin x={{\text{e}}^{2\left( 1-\sin x \right)}}+2\left( 1-\sin x \right)\Leftrightarrow m\cos x-\sin x=2\left( 1-\sin x \right)\) \(\Leftrightarrow m\cos x+\sin x=2\).

Phương trình có nghiệm khi \({{m}^{2}}+1\ge 4\Leftrightarrow {{m}^{2}}\ge 3\).

\(\Rightarrow S=\left( -\infty ;-\sqrt{3} \right]\cup \left[ \sqrt{3};+\infty \right)\).

Vậy \(T=10a+20b\)\(=10\sqrt{3}\).

Chọn A