Cho \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{-n...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tính tổng quát \(n\left( {{I}_{n}}+{{I}_{n+1}} \right)\) bằng bao nhiêu, sau đó thay vào tính \({{u}_{n}}\) và sử dụng công thức tổng của cấp số nhân để rút gọn \({{u}_{n}}\).

Giải chi tiết:

Ta có: \({{I}_{n}}+{{I}_{n+1}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{-nx}}dx}{1+{{e}^{-x}}}}+\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{-\left( n+1 \right)x}}dx}{1+{{e}^{-x}}}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{-nx}}\left( 1+{{e}^{-x}} \right)dx}{1+{{e}^{-x}}}}=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-nx}}dx}=\left. \frac{-{{e}^{-nx}}}{n} \right|_{0}^{1}=\frac{-{{e}^{-n}}+1}{n}\)

\(\begin{align}  \Rightarrow n\left( {{I}_{n}}+{{I}_{n+1}} \right)=1-{{e}^{-n}} \\  \Rightarrow {{u}_{n}}=1\left( {{I}_{1}}+{{I}_{2}} \right)+2\left( {{I}_{2}}+{{I}_{3}} \right)+3\left( {{I}_{3}}+{{I}_{4}} \right)+...+n\left( {{I}_{n}}+{{I}_{n+1}} \right)-n \\  \,\,\,\,\,\,{{u}_{n}}=1-{{e}^{-1}}+1-{{e}^{-2}}+...+1-{{e}^{-n}}-n=-\left( \frac{1}{e}+\frac{1}{{{e}^{2}}}+...+\frac{1}{{{e}^{n}}} \right)=-\frac{\frac{1}{e}\left( 1-\frac{1}{{{e}^{n}}} \right)}{1-\frac{1}{e}}=\frac{\frac{1}{{{e}^{n}}}-1}{e-1} \\  \Rightarrow L=\lim {{u}_{n}}=\frac{-1}{e-1}\approx -0,58\in \left( -1;0 \right) \\ \end{align}\)

Chọn B.