Cho \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn \(C_{n}^{n-1}+C...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải phương trình tổ hợp tìm n, áp dụng công thức tổng quát khai triển nhị thức Newtơn tìm hệ số của \({{x}^{k}}\)

Giải chi tiết:

 Điều kiện: \(\left\{ \begin{align} & n\in \mathbb{N} \\ & n\ge 2 \\ \end{align} \right.\).

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow n + \frac{1}{2}\left( {n - 1} \right)n = 78\\
\Leftrightarrow {n^2} + n - 156 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 12\;\;\left( {tm} \right)\\
n = - 13\;\;\left( {ktm} \right)
\end{array} \right..
\end{array}\)

Suy ra \({{\left( 2x-1 \right)}^{n}}={{\left( 2x-1 \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left( 2x \right)}^{12-k}}{{\left( -1 \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left( 2 \right)}^{12-k}}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{12-k}}}\).

Hệ số \({{x}^{5}}\) ứng với \(12-k=5\Leftrightarrow k=7\).

Vậy: Hệ số \({{x}^{5}}\) là \(C_{12}^{7}{{2}^{5}}{{\left( -1 \right)}^{7}}=-\,25344.\)

Chọn D