Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \(M\left( a;b;c \right)\), tính \(M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}\), đưa và hằng đẳng thức và tìm GTNN của biểu thức đó.

Giải chi tiết:

Gọi \(M\left( a;b;c \right)\) suy ra \(\overrightarrow{AM}=\left( a;b-2;c+4 \right),\overrightarrow{BM}=\left( a+3;b-5;c-2 \right)\)

Khi đó \(M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{\left( c+4 \right)}^{2}}+2\left[ {{\left( a+3 \right)}^{2}}+{{\left( b-5 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}} \right]\)

\(=3{{a}^{2}}+12a+3{{b}^{2}}-24b+3{{c}^{2}}+96=3{{\left( a+2 \right)}^{2}}+3{{\left( b-4 \right)}^{2}}+3{{c}^{2}}+36\ge 36\)

Vậy \[{{\left\{ M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}} \right\}}_{\min }}=36.\] Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow \left( a;b;c \right)=\left( -2;4;0 \right).\)

Đáp án B