Bạn An cắt một tấm bìa hình tam giác có một góc bằ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi M, N, P lần lượt là điểm tiếp xúc của các cạnh AB, AC, BC với đường tròn (O). Gọi r là bán kính đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC. Giả sử:  góc ABC = 60⁰AB, AC, BC là các tiếp tuyến của đường tròn (O)

\(\Rightarrow AB\bot OM{{,}^{{}}}AC\bot ON{{,}^{{}}}BC\bot OP\)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

\(BM=BP{{,}^{{}}}AM=AN,{}^{{}}CN=CP\)

\(\overset{\hat{\ }}{\mathop{{{B}_{1}}}}\,=\overset{\hat{\ }}{\mathop{{{B}_{2}}}}\,\)=\(\frac{\overset{\hat{\ }}{\mathop{B}}\,}{2}=\frac{{{60}^{0}}}{2}={{30}^{0}}\)

Xét tam giác BPO vuông tại P, ta có:

\(\tan \overset{{}}{\mathop{{{B}_{2}}=}}\,\frac{OP}{BP}=\frac{r}{BP}\Rightarrow BP=\frac{r}{\text{tan}{{30}^{0}}}={{\sqrt{3}}^{{}}}r\)

\(\Rightarrow BM=BP={{\sqrt{3}}^{{}}}r\)

Ta có: \(AM=AN=AB-BM=AB-{{\sqrt{3}}^{{}}}r\)

            \(CP=CN=BC-BP=BC-{{\sqrt{3}}^{{}}}r\)

            \(\begin{array}{l}AC = AN + NC = AB - {\sqrt 3 ^{}}r + BC - {\sqrt 3 ^{}}r = AB + BC - 2{\sqrt 3 ^{}}r\\ \Leftrightarrow 2{\sqrt 3 ^{}}r = AB + BC - AC\\ \Leftrightarrow r = \frac{{AB + BC - AC}}{{2\sqrt 3 }}\end{array}\)

Vậy bạn An có thể tính bán kính đường tròn đó theo ba cạnh tam giác theo công thức: \(r=\frac{AB+BC-AC}{2\sqrt{3}}\)