Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\({{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x+3\sin x\cos x-\frac{m}{4}+2=0\Leftrightarrow 4\left( {{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x \right)+12\sin x\cos x+8=m\)

Giải chi tiết:

\(\begin{align}  {{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x+3\sin x\cos x-\frac{m}{4}+2=0\Leftrightarrow 4\left( {{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x \right)+12\sin x\cos x+8=m \\  \Leftrightarrow 4\left( 1-3{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x \right)+12\sin x\cos x+8=m\Leftrightarrow -3{{\sin }^{2}}2x+6\sin 2x+12=m\,\,\,\,(1) \\ \end{align}\)

Đặt \(\sin 2x=t,\,\,t\in \left[ -1;1 \right]\) , (1) trở thành : \(-3{{t}^{2}}+6t+12=m\,\,(2)\)

Xét hàm số \(f(t)=-3{{t}^{2}}+6t+12,\,\,t\in \left[ -1;1 \right]\), có:

\(f'(t)=-6t+6,\,\,f'(t)=0\Leftrightarrow t=1\)

 Vậy, để phương trình (2) có nghiệm thì \(m\in \left[ 3;15 \right]\).

 Mà \(m\in Z\Rightarrow m\in \left\{ 3;4;5;...;15 \right\}\Rightarrow \) Có 15 – 3 + 1 = 13 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn: A